湖南省绥宁县第一中 吴树恒

摘要 介绍几种求函数值域的方法

关键词 函数值域，配方法，分离常数法，逆求法，均值不等式法，判别式法，单调性法，换元法，导数法

对函数三要素——解析式、定义域、值域的求解，是函数问题中出现频率比较高的问题，其中，函数值域的求解以其方法的灵活性大，题型的丰富多样而倍受出题人的青睐，也成为广大学子的大困惑，为了解决值域的求解问题，本文特通过大量实例，介绍求解值域的几种常见的方法，希望对读者有些帮助.

1、配方法

配方法通常应用在跟二次函数值域的求解有关的问题中。

例1  求函数 的值域。

解：

函数图像开口向上，以 为顶点，

函数的值域为

评：对于二次函数的值域的求解，十之八九要配方，所以配方法在这里最受重用。同时，二次函数的值域的求解，通常还会借助图像，所以也可以把这种方法叫做数形结合法.

变式  （1）求 （ ）的值域；

（2）求 （ ）的值域。

解：（1）  

顶点横坐标 ，

且 ， ，

值域为

（2）  

顶点横坐标 ，

且 ，

值域为

评：变式中所列两例虽也进行了配方，但由于题中对有取值的限制，所以处理方式是不一样的，这种问题叫做带限制条件的二次函数的值域问题，结合图像可以很清楚的看到，其一般的解决方法可以归纳如下：

函数 ，其中 ，有：

（1）当 时：

中最大的为最大值，最小的为最小值；

（2）当 时：

中大者为最大值，小者为最小值.

2、分离常数法

例2  求 的值域.

解：函数的定义域为

＝

函数的值域为

评：从上题的解答过程中，大家可以看到，通过变形后分离出了常数 ，所以这种方法叫做分离常数法。形如 （ ），且定义域可取分母不等于零的所有值的函数可以使用分离常数法。分离的结果也要注意，要变成一个常数与一个分式的和或差，且分式的分子也要是常数。熟练掌握这种方法后，如果所见的题是选择或填空题可以快速得出所求函数的值域为 .

3、逆求法

例3  求 （ ）的值域.

分析：此例与上例的不同之处在于，多了自变量的要求，由于多了这个要求，现在我们就算分离出了常数，也不能因为 而认为 可以取 以外的所以值了，所以，我们要另辟路径来解决这个问题.

解：由 得：

      即：

解得：  即为值域

评：此题与例2的解析式虽然一样，但多了 这个条件，所以不能按例2的方法去解决了（读者想想为什么？）.我们在求解过程中想到了如何利用 这个条件，通过对函数式的变形后，我们把 用 表式了出来，构造出了一个关于 的不等式，通过对不等式的求解，我们得到了 的范围，这个范围就是函数的值域，我们把这种方法叫做逆求法.

4、均值不等式法

例4  求 （ ）的值域.

解： ，

当且仅当 即 时取得等号

函数的值域为

评：在此题的求解过程中，我们使用了均值不等式，所以我们把这种方法叫做均值不等式法，形如： （ ）或 （ ）的函数，若取得等号的自变量的值在函数的定义域内时可以使用这种方法求解值域.

变式  求 （ ）的值域.

解：由题知，函数的定义域为 ，

又  

当且仅当 时取得等号

 函数的值域为

5、判别式法

例5 求 的值域.

解：令 ，则

  恒成立，即函数的定义域为R

由 得：

当 时：

满足要求

当 时：

解得：

又 ，所以此时

综上可知函数的值域为：

评：在求解过程中我们用到了判别式，所以这种方法叫做判别式法。它适用于形如 的函数式。当然，此题的求解还可以用均值不等式法，读者可以自己去尝试.

6、单调性法

例6  求 （ ）的值域.

解：由题知函数的定义域为 ，所以

易知，函数在 时单调递增，

所以 ，没有最大值

所以函数的值域为

评：部分读者看到此题可能会想到用例4的均值不等式的方法去解，但是在仔细观察后可以看到在 的条件下，用均值不等式取不到等号，所以用均值不等式解不了，于是我们在此利用了对勾函数的单调性来进行求解，于是这种方法我们把它叫做单调性法.

7、换元法

例7  求 的值域.

分析：要解决此题，麻烦就在于如何处理根号，为了去根号，我们决定用换元法.

解：由题知：

令 （ ），则

又 ，

 ，无最大值

所以函数的值域为

评：在此我们用到了换元法，这种方法一般用在含根号的问题中，换元后可以起到去根号的作用.不过不同的结构换元方法又稍有不同，比如下面一例，虽然也是换元，但换元的方法却不一样，读者要细细体味此中异同.

例8  求 的值域.

解：由 得

设 ，则：

又  

 函数的值域为

评：此题一看到根号，我们马上就想到了换元，但是用例7的方法换元后，发现还是去不了根号，甚至得到的式子比原来更复杂了，所以只能想别的方法，又考虑到自变量的取值范围和被开方式的结构都跟三角函数的结构特征相关，所以我们采用了三角换元，大家注意他们二者之间的差异.

8、导数法

例9  求 的值域.

解：

令

则：

函数的极值情况如下表：

所以函数的最小值是 ，无最大值

所以函数的值域为

评：用导数可以求很多形式函数的值域，通常来讲的话，那些求了导以后式子变简单了，好求解了的函数，可以用导数法去试试.

总之，求函数的值域是高中数学中的难度比较大的问题，题型丰富，方法灵活，大家细细体味本文中的几种方法后在学习过程中融会贯通.希望本文能对大家有些帮助。

（此文在2011年参评湖南省教育协会论文大赛获叁等奖）