新课标高考以平面几何为依托的四类解析几何题赏析
以平面几何为依托的解析几何综合题在新课标高考中频频出现，这类综合题题意新颖、构思精巧，极富思考性和挑战性，充分体现了变知识立意为能力立意，在知识的网络交汇点设计试题的新课标高考命题的指导思想，具有较好的区分度和选拔功能。下面笔者精选四道2009年高考试题予以分类解析，旨在探索题型规律，掌握解题方法。
一、以直线为依托的解几综合题
解:(I）设
，直线
，由坐标原点
到
的距离为
，
则
，解得 
，又
。
（II）由(I）知椭圆的方程为
。设
、
，
由题意知 的斜率为一定不为0，故不妨设 
代入椭圆的方程中整理得
，显然
。
由韦达定理有：
．．．．．．．．①
.假设存在点P，使
成立，则其充要条件为：
点
，点P在椭圆上，即
。
整理得
。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
又
在椭圆上，即
。
故
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②
将
及①代入②解得
,
=
,即
.
当
;
当
.
评析：直线与圆锥曲线的位置关系，高考中常以压轴题形式出现，重点考查推理论证及运算能力，常用“设而不求法”将向量条件转化为坐标表示，再利用一元二次方程根与系数的关系解决。
二、以三角形为依托的解几综合题
例２、（09年，湖北理20题）过抛物线
的对称轴上一点
的直线与抛物线相交 于M、N两点，自M、N向直线
作垂线，垂足分别为
、
。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅰ）当
时，求证：
⊥
；
（Ⅱ）记
、
、
的面积分别为
、
、
，是否存在
，使得对任意的
，都有
成立。若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。
解：依题意，可设直线MN的方程为
，则有
由
消去x可得
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
从而有
①
于是
②
又由
，
可得
③
（１） 
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅱ)存在
，使得对任意的 ，都有
成立，证明如下：
记直线 与x轴的交点为
,则
。于是有
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
将①、②、③代入上式化简可得
＝
。
上式恒成立，即对任意
成立w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
评析：本题主要考查抛物线的定义和几何性质等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力。有关三角形与圆锥曲线的结合，要注重三角形相关性质及面积公式的运用。
三、以四边形为依托的解几综合题
例３、（09年，湖南文20题） 已知椭圆C的中心在原点，焦点在
轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）
（１）求椭圆C的方程：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（２）设点P是椭圆C的左准线与 轴的交点，过点P的直线L与椭圆C相交于M、N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线L的斜率的取值范围。
解： （1） 依题意，设椭圆C的方程为
焦距为
，由题设条件知，
所以 
故椭圆C的方程式为
。
（２）椭圆C的左准线方程为
所以点P的坐标
，显然直线 的斜率
存在，所以直线 的方程为
。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
如图，设点M、N的坐标分别为
线段MN的中点为G
，
……①
由
解得
……②
因为
是方程①的两根，所以
，于是
=
，
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
因为 
0，所以点G不可能在
轴的右边，又直线
、
方程分
别为
所以点
在正方形
内（包括边界）的充要条件为
即
亦即
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解得
，此时②也成立
故直线 斜率的取值范围是 
。
评析：本题主要考查椭圆的几何性质，第（２）问关键在于寻找线段ＭＮ中点在正方形内的充要条件，转化为直线与椭圆的位置关系，应用一元二次方程根与系数的关系来求解。
四、以圆形为依托的解几综合题
例４、（09年，江西文22题）如图，已知圆
是椭圆
的内接△
的内切圆，其中
为椭圆的左顶点。
（1）求圆 的半径
;
（2）过点
作圆 的两条切线交椭圆于
两点，
证明：直线
与圆 相切．
解: （1）设 
，过圆心 作
于
，
交长轴于
，由
得
,
即 
(1)
而点 在椭圆上,
(2)
由(1)、 (2)式得
,解得
或
（舍去）
(2) 设过点
与圆
相切的直线方程为:
(3)
则
,即
(4)
解得
，
将(3)代入 得
,则异于零的解为
，
设
,
，则
，
则直线
的斜率为：
，
于是直线 的方程为:
，
即
，则圆心
到直线 的距离
，故结论成立。
评析：本题主要考查利用解析几何知识求解与圆有关综合问题的能力。圆切线性质的应用与圆切线的证明是解决本题的关键。证明直线与圆相切既可用几何法也可用代数法。
此文发表在《考试·高考数学》2010年7-8月刊