递推数列中的不等式问题，在选择题、填空题和解答题中都经常出现，常涉及不等式、函数、导数等知识，以及比较法、放缩法、构造法、数学归纳法等数学思想方法，对考查学生的知识能力和加大区分度都能起到很好的作用，因而倍受高考出题者的青睐。下面介绍高考中常用的几种方法。

一、求出数列通项式

利用这种方法，关键是把握好数列的递推关系式，熟悉求递推数列通项公式的方法，求出通项式后，再根据所给的不等关系求解。

    二、利用数列的周期性

利用这种方法，关键是通过数列的递推关系式，得出该数列具有周期性，根据周期求出所需的某项，再根据所给的不等关系求解。

    三、利用数学归纳法

这种方法通常用于证明题和比较大小的题，它要求对数学归纳法相当熟练。

四、利用作差(商)比较法

这种方法通常用于证明题和比较大小的题，它要求根据题目所给条件正确选取作差比较或作商比较的方法。

五、利用裂项求和法

利用这种方法，关键是根据数列的递推关系式，将所求式子转化为可裂项求和的形式，再根据所给的不等关系求解。

例5、已知二次函数 的图像经过坐标原点，其导函数为 ，数列 的前n项和为 ，点 均在函数 的图像上。

（Ⅰ）、求数列 的通项公式；

（Ⅱ）、设 ， 是数列 的前n项和，求使得 对所有 都成立的最小正整数m。解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 ,  b=－2, 所以  f(x)＝3x²－2x.

又因为点 均在函数 的图像上，所以 ＝3n²－2n.

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－ ＝6n－5.

当n＝1时，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 （ ）

(Ⅱ)由（Ⅰ）得知 ＝ ＝ ，

故T_n＝ ＝ ＝ （1－ ）.

因此，要使 (1－ )< （ ）成立的m,必须且仅须满足 ≤ ，

即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10。

六、利用累加(乘)法

利用这种方法，关键是根据数列的递推关系式，将所求式子转化为可累加求和或累乘求积的形式，再根据所给的不等关系求解。

    七、利用放缩法

利用这种方法，关键是根据数列的递推关系式，求出通项式进行放缩或将求式子转化为可放缩的形式，再根据放缩方法求解。

例7、已知数列｛a ｝满足a =1,a =2a +1(n∈N )

求证 ： (n∈N^*).

证明：

       是以 为首项，2为公比的等比数列。

       即　

八、利用构造法构造函数

利用这种方法，关键是根据数列的递推关系式所具备的函数特征构造函数，再根据函数思想或导数的方法求解。

例8、已知函数 ,数列{ }满足:                                                                                     

证明: （I）． ；　　　（II）． 。

证明: （I）．先用数学归纳法证明 ，ｎ＝1,2,3,…

          ( = 1 \* roman i).当n=1时,由已知显然结论成立.

          ( = 2 \* roman ii).假设当n=k时结论成立,即 .因为0