于真灵

一、深挖细查，突破解题的瓶颈.

例1 . 已知函数 有反函数，定义：若对给定的实数 ，函数 与 互为反函数，则称 满足“ 和性质”；若函数 与 互为反函数，则称 满足“ 积性质”.

    (1)判断函数 是否满足“1和性质”，并说明理由；

    (2)求所有满足“2和性质”的一次函数；

    (3)设函数 对任何 ，满足“ 积性质”，求 的表达式.

【简单解法】(1)因 ，故 .

而 ，其反函数为 ，故 不满足“1和性质”.

(2) )设函数 满足“2和性质”，则有 对 恒成立.

故 ，即所有求一次函数为 .

(3) 设 ， ，且点 在 图象上，则 在函数 图象上，故 且 ，可得 .令 ，则 .故 ，即 .综上， .

【小 结】读懂并理解“ 和性质” 与“ 积性质”是解决这道题的关键.(3)问利用原函数与反函数的图象关于直线 对称与“ 积性质”得到等式 ，再通过换元 求得 的解析式.创新题是目前高考与数学竞赛的常见题，挖掘题目中所给出的新概念、新定义、新运算、新性质等信息的本质，转化为用已掌握的数学知识来解决问题.

【突破训练】1.如果对任意一个三角形，只要它的三边长 都在函数 的定义域内，就有 也是某个三角形的三边长，则称 为“保三角形函数”.

    (1)判断下列函数是不是“保三角形函数”：① ；② .

    (2)若函数 是保三角形函数，求 的最小值.

二、设而不求，架设解题的桥梁.

例2 . 已知直线 经过椭圆 ： 的左顶点 和上顶点 ，椭圆 的右顶点为 ，点 是椭圆 上位于 轴上方的动点，直线 与直线 分别交于 两点.

(1) 求椭圆 的方程；

(2)求线段 的长度的最小值；

(3)当线段 的长度取最小时，在椭圆 上是否存在这样的点 ，使得 的面积为 ？若存在，确定点  的个数；若不存在，说明理由.

【简单解法1】 (1) 椭圆 的方程为： ；

(2)由于直线 的斜率 显然存在，且 ，故可设直线 的方程为 ，从而 ，由 得 ，且它的一个根为 ，设 ，则 ，所以 ，从而 ，即 ；又 ，故 ，从而点 ，所以 ，又 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立.所以当 时，线段 的长度取最小值 ，对应的点 为 .

(3)由(2)知，当线段 的长度取最小时， ，此时 的方程为 ，点 的为 ， ；要使椭圆 存在点 ，使得 ，只需点 到直线 的距离为 ，所以点 在平行于 且与 距离等于 的直线 ，设直线 ，则由 ，解得 或 ，经检验，只有当 时，直线 与椭圆有两个不同的交点.所以当线段 的长度取最小时，椭圆存在两个不同的点 ，使 .

【简单解法2】 (2)由椭圆 方程为： ，可设点 的坐标为 ，则直线 的方程为 ，故点 ，同理得 ，所以 ，设 ，即 ，要使此式有意义，则

，即 ，当 时， 时，此时对应 的点 为 ；当 时， ，与 矛盾，故舍去.

所以线段 的长度取最小值 ，对应的点 为 .

【小 结】“设而不求”是联系解析几何与函数、方程、不等式等相关内容的纽带和桥梁，高考中许多解析几何题都能用“设而不求”解决，因此它是解决解析几何的金钥匙，本题中方法1设了点的坐标，由根与系数的关系得出；方法(2)设了点的参数坐标.常用的“设而不求”有：巧设相关点、巧设相关参数、巧设相关方程.

【突破训练】2.设抛物线 的焦点为 ，经过点 的直线交抛物线于 两点，点 在抛物线的准线上，且 平行于 轴. 证明：直线 经过原点 .

三、执果索因，探究解题的方法.

例3 .如图，四棱锥 的底面是正方形，每条侧棱的长都

是底面边长的 倍， 为侧棱 上的点.

(1)求证： ；

(2) 若 平面 ，求二面角 的大小；

(3)在(2)的条件下，侧棱 上是否存在一点 ，使得 ∥平面 ？若存在，求 的值；若不存在，试说明理由.

【简单解法】(1)连结 ，设 交 于 ，由题意知 平面 。以 为坐标原点， ， ， 分别为 轴， 轴， 轴正方向，建立空间坐标系 轴，设底面边长为 ，则高 .于是， ， ， ，则 ， ， ，故 ，从而 .

(2)由题设知，平面 的一个法向量为 ，且 ，平面 的一个法向量为 ，且 .设所求二面角为 ，则 ，故所求二面角的大小为30^o.

(3)假设在棱 上存在一点 ，使得 ∥平面 .由(2)知 是平面 的一个法向量，且， ，设 ，

则 ，而 ，即当 时， ，而 不在平面 内，故 ∥平面 .

【小 结】(3)从结论切入关键要解决向量 的表达式，使其满足“侧棱 上是否存在一点 ，使得 ∥平面 ”，先假设其存在，再转化为向量运算，降低了思维与运算的难度.探索型题通常是从结论入手，通过假设，逐步找到解题的方法.

【突破训练】3.在棱长为2的正方体 中， 分别为 和 的中点.

(1)求异面直线 与 所成的角的余弦值；

(2)在棱 上是否存在一点 ，使得二面角 的大小为 ？若存在，求出 的长，若不存在，请说明理由.

四、三角代换，转换解题的思维.

例4 .在数列 中， ，且满足关系式： ，

求： .

【简单解法】将(1)和(2)两式平方后相加有： ，

即 ，亦即  ……(3)，而由 ，利用(3)

得 ，再据此利用(3)依次可推得： ，

故有： ，从而令 ，将其代入(1)和(2)得 ， ，从而

，且 为第一象限的角，取 ，这说明 是以 为首项、以 为公差的等差数列，即： ，又由 知 ，取 ，则 ，

因此， .

【小 结】求递推数列的通项是求数列通项公式的一个难点，也是高考、尤其是高中数学竞赛的一个重点。通过对递推关系的一系列的变换，构成一个新的数列，是求解递推数列通项公式最常用的代数方法，但有时用代数法解这类题显得相当复杂，而利用三角知识可以很巧妙地解决这类问题。

【突破训练】4.设数列 满足： ，求通项公式 .

【突破训练答案】1.(1) ① 是保三角形函数；② 不是保三角形函数.   (2)首先证明当 时， 是保三角形函数，其次证明当 时， 不是保三角形函数.综上知， 的最小值为2.

2.设过焦点 的直线 方程的方程为 ，设 ，

由 消去 得 ，又 平行于 轴，且点 在准线上，

点 的坐标为 ， ，故 过原点.

3.分别以 所在的直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，则 .

(1)因为 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .

(2)假设满足条件的点 存在，可设点 ，平面 的一个法向量为 ，则 ，所以 ，取 ，易知平面 的一个法向量 ，依题意知， 或 ，所以 ，即 ，解得 ，因为 ，所以在棱 上存在一点 ，当 的长为 时，二面角 的大小为 .

4.不难用数学归纳法证明：对任意 ，均有 ，由此可令 ， ，由 得：

，

，又 ，于是由(1)得 ，这说明 是以 为首项、 为公比的等比数列，故 ，

又 ，

，代入(2)得 ，所以 .

此文发表在《高中生·高考指导》2010年11月下旬刊