于真灵

许多数学题中的已知条件与结论之间有着相似的形式或结构，但求解却很困难，然而巧妙地构造形式相似并具有某种对称关系的一对对偶式，通过合理的运算和转化，问题便可迎刃而解.

一、轮换对偶

轮换对偶是针对式子的结构，通过轮换字母来构造对偶式.

例1.         若 为锐角，且 ，

求证： .

证明：设 ，构造轮换对偶式

，

结合已知条件得： ，

             ，

       同理： ，

       ，

       ，即 .

二、倒数对偶

倒数对偶是针对式子的结构，通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式.

例2.设 ，且 ，求证： .

证明：设 ，构造倒数对偶式：

         ，则

      ，

     又 ，

         ，

    ，

即 .

三、定值对偶

定值对偶是指通过运算与转换构造出定值对偶式.

例2.         设 ，

求： 的值.

解：构造定值对偶式： ，则

，

  ，

.

四、共轭对偶

共轭对偶是指利用共轭根式或共轭复数来构造对偶式.

例4．已知

    构造对偶复数： ，则 ，从而有

五、类比对偶

类比对偶是根据已知的结论，通过类比对偶联想，得出一种新的结论，这是合情推理的猜想.

 例5.求证： .

证明：左边

        .

这是角度成等比数列的3个余弦值的乘积，类比对偶：求 的值，这是角度成等差数列的4个正弦值的乘积(计算读者完成).类比对偶还可以得到以下结论：

(1) ，                (2) ，

(3) ，  (4) ，

  ┈┈

(5)  (证明读者完成).

此文发表在《湖南教育》2011年4月下旬刊