以平面几何为依托的解析几何综合题在新课标高考中频频出现，这类综合题题意新颖、构思精巧，极富思考性和挑战性，充分体现了变知识立意为能力立意，在知识的网络交汇点设计试题的新课标高考命题的指导思想，具有较好的区分度和选拔功能。下面笔者精选四道2009年高考试题予以分类解析，旨在探索题型规律，掌握解题方法。

一、以直线为依托的解几综合题

解:(I）设 ，直线 ，由坐标原点 到 的距离为 ，

    则 ，解得 ，又 。

  （II）由(I）知椭圆的方程为 。设 、 ，

由题意知 的斜率为一定不为0，故不妨设 

代入椭圆的方程中整理得 ，显然 。

由韦达定理有： ．．．．．．．．①

.假设存在点P，使 成立，则其充要条件为：

点 ，点P在椭圆上，即 。

整理得 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m             

又 在椭圆上，即 。

    故 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②

将 及①代入②解得

, = ,即 .

当 ;

当 .

评析：直线与圆锥曲线的位置关系，高考中常以压轴题形式出现，重点考查推理论证及运算能力，常用“设而不求法”将向量条件转化为坐标表示，再利用一元二次方程根与系数的关系解决。

二、以三角形为依托的解几综合题

例２、（09年，湖北理20题）过抛物线 的对称轴上一点 的直线与抛物线相交    于M、N两点，自M、N向直线 作垂线，垂足分别为 、 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m           

（Ⅰ）当 时，求证： ⊥ ；

（Ⅱ）记 、 、 的面积分别为 、 、 ，是否存在 ，使得对任意的 ，都有 成立。若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。

解：依题意，可设直线MN的方程为 ，则有

由 消去x可得  w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                 

从而有                                              ①

于是                            ②

又由 ， 可得          ③

（１）  

 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                 

(Ⅱ)存在 ，使得对任意的 ，都有 成立，证明如下：

记直线 与x轴的交点为 ,则 。于是有

 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                 

将①、②、③代入上式化简可得

＝ 。

上式恒成立，即对任意 成立w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                 

评析：本题主要考查抛物线的定义和几何性质等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力。有关三角形与圆锥曲线的结合，要注重三角形相关性质及面积公式的运用。

三、以四边形为依托的解几综合题

例３、（09年，湖南文20题） 已知椭圆C的中心在原点，焦点在 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）

（１）求椭圆C的方程：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（２）设点P是椭圆C的左准线与 轴的交点，过点P的直线L与椭圆C相交于M、N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线L的斜率的取值范围。

解： （1） 依题意，设椭圆C的方程为 焦距为 ，由题设条件知，  所以   故椭圆C的方程式为 。

（２）椭圆C的左准线方程为 所以点P的坐标 ，显然直线 的斜率 存在，所以直线 的方程为 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

如图，设点M、N的坐标分别为

线段MN的中点为G ，

       ……①

由 解得 ……②

因为 是方程①的两根，所以 ，于是

    = ，  w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

因为 0，所以点G不可能在 轴的右边，又直线 、 方程分

别为 所以点 在正方形 内（包括边界）的充要条件为

即   亦即  w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

解得 ，此时②也成立

故直线 斜率的取值范围是 。

评析：本题主要考查椭圆的几何性质，第（２）问关键在于寻找线段ＭＮ中点在正方形内的充要条件，转化为直线与椭圆的位置关系，应用一元二次方程根与系数的关系来求解。

四、以圆形为依托的解几综合题

例４、（09年，江西文22题）如图，已知圆 是椭圆

的内接△ 的内切圆，其中 为椭圆的左顶点。

（1）求圆 的半径 ;

（2）过点 作圆 的两条切线交椭圆于 两点，

证明：直线 与圆 相切．

 解: （1）设 ，过圆心 作 于 ，

交长轴于 ，由 得 ,

即               (1)           

而点 在椭圆上,       (2)

由(1)、 (2)式得 ,解得 或 （舍去）

(2) 设过点 与圆 相切的直线方程为:              (3)

则 ,即             (4)

解得 ，

将(3)代入 得 ,则异于零的解为 ，

设 , ，则 ，

则直线 的斜率为： ，

于是直线 的方程为: ，

即 ，则圆心 到直线 的距离  ，故结论成立。

评析：本题主要考查利用解析几何知识求解与圆有关综合问题的能力。圆切线性质的应用与圆切线的证明是解决本题的关键。证明直线与圆相切既可用几何法也可用代数法。

此文发表在《考试·高考数学》2010年7-8月刊