2012高考试题分类汇编：12：平面向量

一、选择题

1.【2012高考全国文9】 中， 边的高为 ，若 ， ， ， ， ，则

（A）        （B）       （C）       （D）  

 【答案】D

【解析】如图，在直角三角形中， ,则 ,所以 ,所以 ,即 ，选D.

2.【2012高考重庆文6】设  ，向量 且  ，则

（A）   （B）   （C）   （D）

 【答案】B

【解析】因为 ，所以有 ，解得 ，即 ，所以 ， ，选B.

3.【2012高考浙江文7】设a，b是两个非零向量。

A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥b

B.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|

C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa

D.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|

【答案】C

【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实

数λ，使得a＝λb．如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．

4.【2012高考四川文7】设 、 都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件是（    ）

A、 且     B、          C、            D、

【答案】Ｄ

 【解析】A.可以推得 或 \* MERGEFORMAT 为必要不充分条件；Ｂ可以推得 \* MERGEFORMAT 为既不充分也不必要条件；Ｃ同Ａ；Ｄ.为充分不必要条件．故选D.

5.【2012高考陕西文7】设向量 =（1. ）与 =（-1， 2 ）垂直，则 等于 （   ）

A                 B                   C .0                D.-1

【答案】C.

 【解析】 \* MERGEFORMAT ，故选C.

6.【2012高考辽宁文1】已知向量a = (1,—1)，b = (2,x).若a ·b = 1,则x =

(A) —1      (B) —       (C)            (D)1

【答案】D

【解析】 ，故选D

【点评】本题主要考查向量的数量积，属于容易题。

7.【2012高考广东文3】若向量 ， ，则

A.             B.          C.          D.

【答案】A

【解析】 .

8.【2012高考广东文10】对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 . 若两个非零的平面向量 ， 满足 与 的夹角 ，且 和 都在集合 中，则

A.            B.            C. 1            D.

【答案】D

【解析】因为 ，同理 ，因为 和 都在集合 中，令 ，所以 ，即 ，又因为 ，所以 ，所以 ，即 ，只有当 时， 满足条件，

故有 ．故选D．

9.【2102高考福建文3】已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a⊥b的充要条件是

A.x=-  B.x-1   C.x=5    D.x=0

【答案】D

【解析】 \* MERGEFORMAT ，故选D

10.【2012高考天津文科8】在△ABC中，  A=90°，AB=1，设点P，Q满足 = ，  =(1- ) ，   R。若 =-2，则 =

（A）      （B）        C）       （D）2

【答案】B

【解析】如图，设  ，则 ，又 ， ，由 得 ，即 ，选B.

二、填空题

1.【2012高考新课标文15】已知向量 夹角为  ，且 ；则

【答案】

【解析】因为 ，所以 ，即 ，所以 ，整理得 ，解得 或 （舍去）.

2.【2012高考安徽文11】设向量 ， ， ，若 ，则 ______.[

【答案】

【解析】 。

3.【2012高考湖南文15】如图4，在平行四边形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足为P， 且 =      .

【答案】18

【解析】设 ，则 ， =

.

【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.

4.【2012高考浙江文15】在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则 =________.

【答案】-16

【解析】由余弦定理 ，

， ，两式子相加为 ，

，

.

5.【2012高考山东文16】如图，在平面直角坐标系 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时， 的坐标为＿＿＿＿.

【答案】

【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧 ，即圆心角 ,,则 ,所以 ， ，所以 ， ，所以 .

另解：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为 ，且 ，则点P的坐标为 ，即 .

6.【2012高考江西文12】设单位向量m=（x，y），b=（2，-1）。若，则=_______________

 【答案】

【解析】因为 为单位向量，所以 。又 ，所以 ，即 ，两式联立解得 。 ，所以

7.【2012高考江苏9】（5分）如图，在矩形 中， 点 为 的中点，点 在边 上，若 ，则 的值是  ▲  ．

【答案】 。

【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。

【解析】由 ，得 ，由矩形的性质，得 。

        ∵ ，∴ ，∴ 。∴ 。

        记 之间的夹角为 ，则 。

        又∵ 点E为BC的中点，∴ 。

        ∴

。

        本题也可建立以 为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。

8.【2012高考上海文12】在矩形 中，边 、 的长分别为2、1，若 、 分别是边 、 上的点，且满足 ，则 的取值范围是            

【答案】[1,4].

【解析】设 = （0≤ ≤1），

则 = , = ，

则 = =

= + + + ,

又∵ =0，

∴ = ，

∵0≤ ≤1，∴1≤ ≤4，即 的取值范围是[1,4].

9.【2012高考湖北文13】已知向量a=（1,0），b=（1,1），则

 （Ⅰ）与2a+b同向的单位向量的坐标表示为____________；

（Ⅱ）向量b-3a与向量a夹角的余弦值为____________。

【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）  

【解析】（Ⅰ）由 ，得 .设与 同向的单位向量为 ，则 且 ，解得 故 .即与 同向的单位向量的坐标为 .

（Ⅱ）由 ，得 .设向量 与向量 的夹角为 ，则 .

【点评】本题考查单位向量的概念，平面向量的坐标运算，向量的数量积等.与某向量同向的单位向量一般只有1个，但与某向量共线的单位向量一般有2个，它包含同向与反向两种.不要把两个概念弄混淆了. 来年需注意平面向量基本定理，基本概念以及创新性问题的考查.

10【2102高考北.京文13】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 的值为________， 的最大值为______。

【答案】1，1

【解析】根据平面向量的数量积公式 ，由图可知， ，因此 ，

，而 就是向量 在 边上的射影，要想让 最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为 ，所以长度为1．

2012年高考真题汇编——文科数学（解析版）12：平面向量（www.ks5u.com 2012高考）.doc