（Ⅰ）证明： ；      （Ⅱ）求 的长；

（Ⅲ）求二面角 的余弦值。

【答案】本题考查平面图形与空间图形的转化，空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定。空间线段长度和空间角的余弦值的计算等基础知识和基本技能，考查空间想象能力，推理论证能力和求解能力。

【解析】(综合法)

（ = 1 \* ROMAN I）取 的中点为点 ，连接 ，

  则 ，面 面 面 ，

同理： 面  得： 共面，

又 面 。

（Ⅱ）延长 到 ，使  ，得： ，

，面 面 面 面 ，

。

（Ⅲ） 是二面角 的平面角。

在 中， ，

在 中， ，

得：二面角 的余弦值为 。

37.【2012高考真题上海理19】（6+6=12分）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，

底面 ， 是 的中点，已知 ， ， ，求：

（1）三角形 的面积；

（2）异面直线 与 所成的角的大小。

【答案】

【解析】（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，

又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，

∴CD⊥PD，

又∵ ，CD=2，

∴△PCD的面积为 。

（2）解法一：取PB的中点F，连接EF,AF,

则EF∥BC，∴∠AEF(或其补角)是异面直线

BC与AE所成的角。

在△ADF中，EF= 、AF= ,AE=2，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴∠AEF= ，

∴异面直线BC与AE所成的角大小为 。

解法二：如图所示，建立空间直角坐标系，

则B(2,0,0),C(2， ,0),E(1， ,1)，                                  ∴ =(1， ,1)， =(0, ,0),

设 与 的夹角为 ，则

= ,,

又∵0＜ ≤ ，∴ = 。

【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．

38.【2012高考真题全国卷理18】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2 ，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.

（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.

【答案】

39.【2012高考真题山东理18】（18）（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，四边形 是等腰梯形， ∥ ， 平面 .

（Ⅰ）求证： 平面 ；

（Ⅱ）求二面角 的余弦值.

【答案】

40.【2012高考真题湖南理18】（本小题满分12分）

   如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.

（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；

（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.

【答案】解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4， ，

Ｅ是ＣＤ的中点，所以

所以

而 内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.

（Ⅱ）过点Ｂ作

由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是 为直线ＰＢ与平面PAE

所成的角，且 .

由 知， 为直线 与平面 所成的角.

由题意，知

因为 所以

由 所以四边形 是平行四边形，故 于是

在 中， 所以

于是

又梯形 的面积为 所以四棱锥 的体积为

解法2：如图（2），以A为坐标原点， 所在直线分别为 建立空间直角坐标系.设 则相关的各点坐标为：

（Ⅰ）易知 因为

所以 而 是平面 内的两条相交直线，所以

(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知， 分别是 ， 的法向量，而PB与

所成的角和PB与 所成的角相等，所以

由（Ⅰ）知， 由 故

解得 .

又梯形ABCD的面积为 ，所以四棱锥 的体积为

    .

41.【2012高考真题天津理17】（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）证明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.

【答案】

2012年高考真题汇编——理科数学：7：立体几何（www.ks5u.com 2012高考）.doc