由 所以四边形 是平行四边形，故 于是

在 中， 所以

于是

又梯形 的面积为 所以四棱锥 的体积为

解法2：如图（2），以A为坐标原点， 所在直线分别为 建立空间直角坐标系.设 则相关的各点坐标为：

（Ⅰ）易知 因为

所以 而 是平面 内的两条相交直线，所以

(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知， 分别是 ， 的法向量，而PB与

所成的角和PB与 所成的角相等，所以

由（Ⅰ）知， 由 故

解得 .

又梯形ABCD的面积为 ，所以四棱锥 的体积为

    .

【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明 即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由 算得体积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体积.

19.（本小题满分12分）

已知数列{a_n}的各项均为正数，记A（n）=a₁+a₂+……+a_n，B（n）=a₂+a₃+……+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+……+a_n+2，n=1,2，…… [来^&源:中教网@~%]

（1）       若a₁=1，a₂=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{ a_n }的通项公式.

（2）       证明：数列{ a_n }是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意 ，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.

【解析】

解（１）对任意 ,三个数 是等差数列，所以

即 亦即

故数列 是首项为１，公差为４的等差数列.于是

（Ⅱ）（１）必要性：若数列 是公比为ｑ的等比数列，则对任意 ，有

由 知， 均大于０，于是

即 ＝ ＝ ，所以三个数 组成公比为 的等比数列.

（２）充分性：若对于任意 ，三个数 组成公比为 的等比数列，

则

　　　 ，

于是 得 即

由 有 即 ，从而 .

因为 ，所以 ，故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，

综上所述，数列 是公比为 的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数 组成公比为 的等比数列.

【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.

20.（本小题满分13分）[来#源:中教%&*网~]

某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.

（１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；

（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.

【解析】

解：（Ⅰ）设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为

由题设有

期中 均为1到200之间的正整数.

（Ⅱ）完成订单任务的时间为 其定义域为

易知， 为减函数， 为增函数.注意到

于是

（1）当 时，  此时

  ，

由函数 的单调性知，当 时 取得最小值，解得

.由于

.

故当 时完成订单任务的时间最短，且最短时间为 .

（2）当 时，  由于 为正整数，故 ，此时 易知 为增函数，则

.

由函数 的单调性知，当 时 取得最小值，解得 .由于

此时完成订单任务的最短时间大于 .

（3）当 时，  由于 为正整数，故 ，此时 由函数 的单调性知，

当 时 取得最小值，解得 .类似（1）的讨论.此时

完成订单任务的最短时间为 ，大于 .

综上所述，当 时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数

分别为44,88,68.

【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想.

21.（本小题满分13分）[www.z%zstep.co*~&m^]

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的点均在C₂：（x-5）²＋y²=9外，且对C₁上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C₂上点的距离的最小值.

（Ⅰ）求曲线C₁的方程；

（Ⅱ）设P(x₀,y₀)（y₀≠±3）为圆C₂外一点，过P作圆C₂的两条切线，分别与曲线C₁相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.

【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M的坐标为 ，由已知得

，

易知圆 上的点位于直线 的右侧.于是 ，所以

.

化简得曲线 的方程为 .

解法2 ：由题设知，曲线 上任意一点M到圆心 的距离等于它到直线 的距离，因此，曲线 是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，故其方程为 .

（Ⅱ）当点P在直线 上运动时，P的坐标为 ，又 ，则过P且与圆

相切得直线的斜率 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为 .于是

整理得

        ①

设过P所作的两条切线 的斜率分别为 ，则 是方程①的两个实根，故

      ②

由 得      ③

设四点A,B,C,D的纵坐标分别为 ，则是方程③的两个实根，所以

    ④

同理可得

     ⑤

于是由②，④，⑤三式得

.

所以，当P在直线 上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.

【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到 四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.

22.（本小题满分13分）

已知函数 = ，其中a≠0.[来源^:zz#~s&tep.@com]

（1）    若对一切x∈R， ≥1恒成立，求a的取值集合.

（2）在函数 的图像上取定两点 ， ，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x₀∈（x₁，x₂），使 成立？若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由.

【解析】（Ⅰ）若 ，则对一切 ， ，这与题设矛盾，又 ，

故 .

而 令

当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，故当 时， 取最小值

于是对一切 恒成立，当且仅当

　　　　　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

令 则

当 时， 单调递增；当 时， 单调递减.

故当 时， 取最大值 .因此，当且仅当 即 时，①式成立.

综上所述， 的取值集合为 .

（Ⅱ）由题意知，

令 则

令 ，则 .

当 时， 单调递减；当 时， 单调递增.

故当 ， 即

从而 ， 又

所以

因为函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在 使 单调递增，故这样的 是唯一的，且 .故当且仅当 时， .

综上所述，存在 使 成立.且 的取值范围为

.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出 取最小值 对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为 ，从而得出a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.

2012年高考真题——数学理（湖南卷）word版含解析（www.ks5u.com 2012高考）.doc