（Ⅰ）用 和 表示 ；

（Ⅱ）求对所有 都有 成立的 的最小值；

（Ⅲ）当 时，比较 与 的大小，并说明理由。

【答案】本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想

27.【2012高考真题广东理19】（本小题满分14分）

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足 ，n∈N^﹡,且a₁，a₂+5，a₃成等差数列．

（4）       求a₁的值；

（5）       求数列{a_n}的通项公式．

（6）       证明：对一切正整数n，有 .

【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般.

28.【2012高考真题上海理23】（4+6+8=18分）对于数集 ，其中 ， ，定义向量集 ，若对任意 ，存在 ，使得 ，则称 具有性质 ．例如 具有性质 ．

（1）若 ，且 具有性质 ，求 的值；

（2）若 具有性质 ，求证： ，且当 时， ；

（3）若 具有性质 ，且 、 （ 为常数），求有穷数列 的通项公式.

【答案】

 【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“ 具有性质 ”这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．

29.【2012高考真题重庆理21】（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分.）

    设数列 的前 项和 满足 ，其中 .

    （I）求证： 是首项为1的等比数列；

（II）若 ，求证： ，并给出等号成立的充要条件.

【答案】

30.【2012高考真题江西理17】（本小题满分12分）

已知数列{a_n}的前n项和 ， ,且S_n的最大值为8.

（1）确定常数k，求a_n；

（2）求数列 的前n项和T_n。

【答案】

【点评】本题考查数列的通项，递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用 来实现 与 的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一，要注意 不能用来求解首项 ，首项 一般通过 来求解.运用错位相减法求数列的前n项和适用的情况：当数列通项由两项的乘积组成，其中一项是等差数列、另一项是等比数列.

31.【2012高考真题安徽理21】（本小题满分13分）

  数列 满足：

（ = 1 \* ROMAN I）证明：数列 是单调递减数列的充分必要条件是 ；

（ = 2 \* ROMAN II）求 的取值范围，使数列 是单调递增数列。

【答案】本题考查数列的概念及其性质，不等式及其性质，充要条件的意义，数列与函数的关系等基础知识，考查综合运用知识分析问题的能力，推理论证和运算求解能力。

【解析】（ = 1 \* ROMAN I）必要条件

当 时， 数列 是单调递减数列。

充分条件

数列 是单调递减数列 ，

得：数列 是单调递减数列的充分必要条件是 。

（ = 2 \* ROMAN II）由（ = 1 \* ROMAN I）得： ，

 = 1 \* GB3 ①当 时， ，不合题意；

 = 2 \* GB3 ②当 时， ，

，

。

当 时， 与 同号，

由 ，

。

当 时，存在 ，使 与 异号，与数列 是单调递减数列矛盾，

得：当 时，数列 是单调递增数列。

32.【2012高考真题天津理18】（本小题满分13分）

已知是等差数列，其前n项和为S_n，是等比数列，且，

.

（Ⅰ）求数列与的通项公式；

（Ⅱ）记，，证明（）.

【答案】

33.【2012高考真题湖南理19】（本小题满分12分）

已知数列{a_n}的各项均为正数，记A（n）=a₁+a₂+……+a_n，B（n）=a₂+a₃+……+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+……+a_n+2，n=1,2，……

（1）       若a₁=1，a₂=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{ a_n }的通项公式.

（2）       证明：数列{ a_n }是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意 ，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.

【答案】解（１）对任意 ,三个数 是等差数列，所以

即 亦即

故数列 是首项为１，公差为４的等差数列.于是

（Ⅱ）（１）必要性：若数列 是公比为ｑ的等比数列，则对任意 ，有

由 知， 均大于０，于是

即 ＝ ＝ ，所以三个数 组成公比为 的等比数列.

（２）充分性：若对于任意 ，三个数 组成公比为 的等比数列，

则

　　　 ，

于是 得 即

由 有 即 ，从而 .

因为 ，所以 ，故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，

综上所述，数列 是公比为 的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数 组成公比为 的等比数列.

【解析】

【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.

34.【2012高考真题山东理20】本小题满分12分）

在等差数列 中， .

（Ⅰ）求数列 的通项公式；

（Ⅱ）对任意 ，将数列 中落入区间 内的项的个数记为 ，求数列 的前 项和 .

【答案】

35.【2012高考真题全国卷理22】（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）

函数f(x)=x²-2x-3，定义数列{x_n}如下：x₁=2，x_n+1是过两点P（4,5）、Q_n(x_n,f(x_n))的直线PQ_n与x轴交点的横坐标.

（Ⅰ）证明：2  x_n＜x_n+1＜3；

（Ⅱ）求数列{x_n}的通项公式.

【答案】

2012年高考真题汇编——理科数学：4：数列（www.ks5u.com 2012高考）.doc