2012高考真题分类汇编：推理与证明

1.【2012高考真题江西理6】观察下列各式： 则

A．28       B．76     C．123        D．199

【答案】C

2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝ .动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为

（A）16（B）14（C）12(D)10

    【答案】B

3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断，下列近似公式中最精确的一个是

11.         B．     C．       D．

【答案】D

4.【2012高考真题陕西理11】 观察下列不等式

，

\* MERGEFORMAT

……

照此规律，第五个不等式为                                        .

【答案】 \* MERGEFORMAT .

【解析】通过观察易知第五个不等式为 \* MERGEFORMAT .

5.【2012高考真题湖南理16】设N=2ⁿ（n∈N^*，n≥2），将N个数x₁,x₂,…，x_N依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P₀=x₁x₂…x_N.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前 和后 个位置，得到排列P₁=x₁x₃…x_N-1x₂x₄…x_N，将此操作称为C变换，将P₁分成两段，每段 个数，并对每段作C变换，得到 ；当2≤i≤n-2时，将P_i分成2ⁱ段，每段 个数，并对每段C变换，得到P_i+1，例如，当N=8时，P₂=x₁x₅x₃x₇x₂x₆x₄x₈，此时x₇位于P₂中的第4个位置.

（1）当N=16时，x₇位于P₂中的第___个位置；

（2）当N=2ⁿ（n≥8）时，x₁₇₃位于P₄中的第___个位置.

【答案】（1）6；（2）

【解析】（1）当N=16时,

,可设为 ,

,即为 ,

,即 , x₇位于P₂中的第6个位置,；

（2）方法同（1）,归纳推理知x₁₇₃位于P₄中的第 个位置.

【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力.

需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.

6.【2012高考真题湖北理13】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则

（Ⅰ）4位回文数有          个；

（Ⅱ）位回文数有         个．

【答案】90，

【解析】（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有种。

答案：90

     （Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数。2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为.

       法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……99”，因此四位数的回文数有90个按此规律推导,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数，因此,则答案为.

7.【2012高考真题北京理20】（本小题共13分）

【答案】解：（1）由题意可知，，，，

∴

（2）先用反证法证明：

若

则，∴

同理可知，∴

由题目所有数和为

即

∴

与题目条件矛盾

∴．

易知当时，存在

∴的最大值为1

（3）的最大值为.

首先构造满足的：

，

.

经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且

，

，

.

下面证明是最大值. 若不然，则存在一个数表，使得.

由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于.

设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则. 另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负.

考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）. 因此

，

故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾. 因此的最大值为 。

8.【2012高考真题湖北理】（本小题满分14分）

（Ⅰ）已知函数，其中为有理数，且. 求的

最小值；

（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：

设，为正有理数. 若，则；

（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.

注：当为正有理数时，有求导公式.

【答案】（Ⅰ），令，解得.

当时，，所以在内是减函数；

当  时，，所以在内是增函数.

故函数在处取得最小值.                               

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，有，即   ①

若，中有一个为0，则成立；

若，均不为0，又，可得，于是

在①中令，，可得，

即，亦即.

综上，对，，为正有理数且，总有.   ②

（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：

设为非负实数，为正有理数.

若，则.            ③    

用数学归纳法证明如下：

（1）当时，，有，③成立.                      

（2）假设当时，③成立，即若为非负实数，为正有理数，

且，则.                

当时，已知为非负实数，为正有理数，

且，此时，即，于是

=.

因，由归纳假设可得

，

从而.

又因，由②得

，

从而.

故当时，③成立.

由（1）（2）可知，对一切正整数，所推广的命题成立.                   

说明：（Ⅲ）中如果推广形式中指出③式对成立，则后续证明中不需讨论的情况.

9.【2012高考真题福建理17】（本小题满分13分）

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.

（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°

（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°

（3）sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°

（4）sin²（-18°）+cos²48°- sin²（-18°）cos²48°

（5）sin²（-25°）+cos²55°- sin²（-25°）cos²55°

Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论.

【答案】

2012年高考真题汇编——理科数学：14：推理与证明（www.ks5u.com 2012高考）.doc