于真灵

向量作为一种数学工具，用来处理立体几何问题，能充分体现 “数”与“形”的有机结合，淡化传统立体几何教材中的“形”到“形”的推理方法，从而降低思维难度，使解题变得程序化。下面谈一谈用向量解立体几何题的几种类型。

一、用向量处理平行问题

空间图形的平行关系包括线线平行、线面平行、面面平行，都可以用以下向量方法来处理：

①、设 、 是两条不重合的直线，其方向向量分别为 、 ，则 ∥ ∥ ＝ R且

②、直线与平面平行可以转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直。

③、平面与平面平行可转化为两个平面的法向量平行。

④、 ∥平面 表示以 为方向向量的直线与平面 平行或在平面 ，因此可用共面向量定理证明。

例1、如图，已知四边形ABCD和ABEF为两个正方形，M、N分别在其对角线BF和AC上，且FM＝AN，求证：MN∥平面EBC。

则存在实数 ，使

所以 共面，又 平面EBC，从而MN∥平面EBC。

二、用向量处理垂直问题

空间的线线、线面、面面的垂直关系，都可以转化为空间

两个向量的垂直问题来解决。

例2、如图，已知平行六面体

的底面 是菱形，且 。

⑴、求证： 。

⑵、当 值为多少时，能使 平面 ？请给出证明。

(1)证明：设 中

两两所成夹角为 ，则 ，所以

从面 。　

⑵、解：要使 平面 ，只须满足 ，由

当 时， 。同理可证：当 时， 。

所以当 ＝1时， 平面 。

三、用向量处理角的问题

立体几何中所涉及的两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等角的计算，均可化归为两个向量的夹角进行计算。

求平面SAB与平面SCD所成二面角 正切值。

解：以AD、AB、AS为x轴、y轴、z轴，以AB为单位，

建立直角体系，则点各坐标为： ，

，则平面SAB的法向量 ，设平面

SCD的法向量为 由 　

得 　即 　令x=1，则 从而 ，

所以 　，因此， 。

四、用向量处理距离问题

立体几何中所涉及的两点间的距离、点到线的距离、点和线与平面的距离均可转化为向量的模或向量 在轴L上的射影进行计算。

例4、在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝4，AD＝3，AA₁＝2，M、N为DC、BB₁的中点，求：异面直线MN与A₁B的距离。

坐标系，则点M（3,2，0），点N（0,4，1），

，设MN与A₁B公垂线的方向向量为

，则有 　即 　　　　　　　　

令y=1则z=2, ,则 ，又 在向量 上的射影

长度为： ，

此即异面直线MN与A₁B的距离。　　

此文发表在《数理化学习》 2007年第3期刊